Терпение и еще раз терпение:)  мой Линукс первое время пытался котенка убить, причем я не преувеличиваю. Прокусывал шею до крови и пытался переломать позвоночник. (В Линуксе 6 кг веса, в котенке было 400 грамм). Зато потом они стали неразлей вода))

Увзрослго животного сейчас стресс: появился какой то новый зверь в доме. У малыша тоже:новый мир, в котором полно незнакомых звуков, запахов, ощущений. Насильно их только не своди, не пытайся подружить. Период адаптации может длится и несколько недель, все зависит от характера животного.

Кошке нашей 3 года и полгода назад у нее сыночек пропал, а этого котика 4 месячного мы взяли у знакомого, кот жил на складе с мамашей и котятами, но там лисица бегала и всех дескать съела, неужели такое возможно и остался этот котик, вот мы его и забрали к себе. Кошка у нас уличная и я вот думаю может пока кот пускай дома живет и ночует, а как обживется может на улице жить.

Как то негуманно сначала поселить в доме, а потом за порог, получается как раз перед холодами. Лучше сразу пусть привыкает жить на улице. 

И в последствии кастрмру и кота, и кошку(именно кастрация, не стерилизация)

у кошки есть стерелизация, а коту зачем? я боюсь что он убежит если оставлю на дворе напостоянно.

Если не кастрируешь, то он 99% убежит по весне. Это во-первых. Ну а во-вторых некастрированный кот будет приставать к кошке, затерорризирует ее. В-третьих некастрированный кот будет приносить потомство. Ты ведь не можешь ручаться, чио котята от него попадут в хорошее руки и не погибнут (как его братья и сестры) 

В Чехии сейчас и так катастрофически много бездомных животных...