Почиайте здесь: https://www.mvcr.cz/clanek/modra-karta.aspx?q=Y2hudW09Nw%3d%3d

А новый работодатель не помогает? Мужу всё они делали сами.

По ссылке подробно все расписано, но напишу еще простыми словами. Все зависит от того, как давно мужу выдана карта первый раз. Если меньше 2 лет, то надо сообщать в полицию, что планируется смена работы и ждать одобрения от полиции, а потом можно менять работу. Если более 2 лет, то можно поменять работу, а потом в 3-х дневный срок уведомить об этом полицию. Но самое главное, чтобы новая позиция выполняла все условия для голубой карты — и уровень ЗП, и требование высшего образования. Этим обычно новый работодатель занимается, но надо отследить, чтобы вакансия была именно для голубой карты, а не для рабочей.