При вьезде в Россию показываете российский паспорт, при выезде в Чр попросят чешский показать.

Доверенности не нужны. Про учет не знаю. Но я зарегистрировала ребенка везде в России, и  в поликлинике и прописку делала.

Только что приехали, так что информация свежая. От папы ничего никто не спрашивал, паспортный контроль проходила я и двое детей, причем фамилия у них отца. В Праге на регистрации показывали оба паспорта, потом на контроле только чешские. В Москве только русские. 

Назад в Москве на регистации оба, на паспортном только русские.

Даже если покажете и им будет не достаточно, они вас спросят и покажете второй паспорт, я их всегда держу на готове оба.

Я только что вернулась из РФ. ) У ребенка фамилия отца. Разрешение никто не спрашивал, но оно у меня было. Сразу оговорюсь, что мы его сами написали по шаблону, найденному в интернете, и подписали на почте. Но вроде надо было подписывать у нотариуса. Знаете, как я поняла закон, разрешение нужно только если ты едешь на долгий срок, в остальных случаях мать может выезжать с ребенком в отпуск.

В общем, возьмите с собой обязательно свидетельство о рождении. У меня спросили в Москве, когда назад въезжала.

А в остальном как обычно с визой вы делали. В России и когда летите в Россию показываете русский паспорт, и назад -чешский.

Я тоже ребенка в ФМС зарегистрировала.

Выезд их Чехии — чешский

Въезд в Россию — русский

Выезд из России — готовьте оба, таа как авиалинии так точно заинтересует как именно вы въедете в Чехию. И свидетельство о рождении, с переводом

Въезд в Чехию — чешский

Регистрация в ФМС — обязательно