На долгодобый побыт вы сможете подать документы только в стране, где проживаете постоянно. Пока документы рассматриваются, можете путешествовать сколько угодно.

Срок рассмотрения документов зависит от конкретной цели визы (студенческая, рабочая, предпринимательская и т.д.) и все можно посмотреть на сайте посольства Чехии. Рассчитывайте на максимальный. Т.е. если период рассмотрения до 120 дней, то именно на эти 120 и опирайтесь. Может что-то будет и раньше, но в сроки на первую визу они укладываются.

Ну и подавать нужно не когда первая виза закончилась, а заранее. Тогда можете спокойно кататься по своей старой визе пока идет рассмотрение ваших документов.

Вы можете уведомить министерство, что уедете, чтоб в это время не было проверок / писем. Либо для писем указать доверенное лицо и его адрес. 

Благодарю!